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Initiation pratique à la programmation des objets fractals avec C#7

Les figures fractales possèdent une fascinante beauté qui est due à leur structure ramifiée à l'infini. Avec quelques connaissances basiques en mathématique (niveau de la terminale) et une connaissance pratique de la programmation orientée objet en langage C#, il est alors très facile de programmer les figures fractales pour les visualiser. Cet ouvrage, dans sa version couleur, est destiné à permettre au lecteur de comprendre comment réussir une programmation d'un ensemble de diverses figures fractales au sein de projets réalisés dans Visual Studio 2017 Community (programmes écrits en langage C#7 et s'appuyant sur le langage XAML pour la visualisation dans des applications WPF).

Les figures fractales rencontrées pourront être construites étape par étape en fonction d'un protocole propre à la figure fractale ciblée. L'imagination et la fantaisie du lecteur lui permettront de concevoir des variantes aussi plaisantes, insolites, voire colorées qu'il voudra. Le lecteur est aussi libre de se contenter de rêver et de contempler à loisir ces objets étranges en feuilletant de façon aléatoire ce modeste ouvrage.

Quand MANDELBROT introduisit la notion d'objet fractal en 1975, il ne se doutait pas de l'essor que prendrait cette notion. Il s'agissait pour lui de démontrer que les objets irréguliers et de façon générale les phénomènes chaotiques sont dignes d'intérêt et qu'on peut les étudier de façon non réductrice, en tenant compte de leur complexité. Il montra en effet que les phénomènes (processus, objets) erratiques possèdent une structure mathématique interne ayant, selon ses termes "une homothétie statistique interne" c'est-à-dire qu'une partie du phénomène se déduit de l'ensemble par une homothétie plus ou moins exacte. C'est en étudiant la côte de Bretagne qu'il introduisit d'ailleurs cette notion d'objet fractal et inventa même ce mot de "fractal" (comme il le dit "c'est un terme que j'ai formé à partir de l'adjectif latin fractus qui signifie irrégulier ou brisé"). L'étude des fractales est désormais devenue une science féconde dans de nombreux domaines. La magie des fractales montre une fois encore le lien qui existe entre les mathématiques et les arts.

Ce livre s'organise autour d'un ensemble de fiches destinées à programmer diverses fractales au sein d'applications WPF dont les programmes sont écrits en langage C# en s'appuyant sur le langage XAML pour l'interface utilisateur.

La fiche n°1 présente la définition d'une figure fractale par un processus itératif selon un protocole indiqué.

La fiche n°2 présente la programmation des figures fractales de VON KOCH (figure 1) qui se base sur le partage d'un segment initial en plusieurs segments égaux. Les notions de rapport de similitude et de dimension fractale seront abordées.

La fiche n°3 présente le codage des courbes (figure 2). Plusieurs systèmes sont présentés pour coder le chemin des courbes. Le premier système présenté consiste à élaborer une roue de directions pour élaborer une séquence qui définit le chemin de la courbe à représenter. Le second système présenté est celui du biologiste hongrois LINDENMAYER (système appelé système de LINDENMAYER ou L-système): système basé sur une grammaire destinée à modéliser des processus comme ceux des plantes par exemple. Ce système est très pratique et il est fréquemment utilisé pour coder des courbes complexes.

La fiche n°4 présente les flocons de VON KOCH (figures 3 et 4) qui consistent à assembler des courbes de VON KOCH en fonction d'une figure initiale (hexagone, pentagone, etc).

La fiche n°5 présente un ensemble de variantes des courbes fractales de VON KOCH par le partage d'un segment initial en 5, 6, 7, 8 et plus de segments égaux (figures 5 et 6).

La fiche n°6 présente les napperons et les carpettes de SIERPINSKI qui sont basés sur le triangle, le pentagone, l'heptagone et l'octogone (figures 7 et 8).

La fiche n°7 présente les courbes fractales de GOSPER avec notamment les réseaux d'hexagones, la côte de l'île de GOSPER et la courbe de GOSPER (figure 9).

La fiche n°8 présente la programmation des courbes fractales par l'utilisation des fonctions itérées (figure 10). Une fonction itérée permet d'appliquer un processus itératif à une figure initiale: le processus utilisé résulte de la combinaison d'une ou plusieurs transformations géométriques. Nous y verrons au passage l'emploi du calcul matriciel pour réaliser diverses transformations géométriques 2D.

La fiche n°9 présente la programmation des arbres de PYTHAGORE et d'un ensemble de ses variantes (figure 11). L'arbre de PYTHAGORE se construit à base de carré et de triangle rectangle isocèle selon un processus de construction bien particulier. Il permet de représenter un arbre avec ses ramifications en fonction de divers processus définis à l'avance. De nombreuses variantes permettent de réaliser des arbres penchés, déséquilibrés, symétriques ou dissymétriques.

Les fiches n°10 et n°11 présentent les courbes fractales de PEANO et de HILBERT: ces courbes ont la particularité de remplir un carré pas à pas selon un protocole bien particulier (figure 12).

La fiche n°12 présente les poussières de CANTOR. Cet ensemble présente bien des paradoxes: il contient une infinité d'éléments et pourtant, il est de longueur nulle (figure 13).

La fiche n°13 présente la programmation des dragons de LEVY et de HEIGHWAY: le terme de dragon désigne des fractales particulières qui peuvent se diviser identiques à elle-mêmes en différents morceaux semblables qui reforment la fractale originelle (figure 14).

La fiche n°14 présente la programmation des nombres complexes qui seront nécessaires à la réalisation des figures fractales des fiches n°15, n°16 et n°17.

La fiche n°15 présente la programmation de l'ensemble de MANDELBROT (figure 15) qui utilise le plan complexe pour définir une courbe fractale dont la particularité est de présenter une variété infinie d'images pourvu que l'on se permette de l'agrandir autant que l'on veut.

La fiche n°16 présente la courbe fractale de JULIA qui elle aussi, comme l'ensemble de MANDELBROT, utilise le plan complexe suivant un protocole différent (figure 16).

Et la fiche n°17 présente la fractale de NEWTON: cette courbe fractale est un ensemble frontière qui est défini dans le plan complexe et qui est caractérisé par l'application de la méthode de NEWTON à un polynôme (figure 17).

Ressources complémentaires

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